Теория категорий, семинар мехмата ЮФУ

У нас на семинаре как-то обсуждалось, какие можно придумать примеры строгих моноидальных категорий. Известно, что их мало в сравнении с моноидальными категориями. Напомню, что «моноидальность» заключается в ведении операции, обычно обозначаемой ⊗, на объектах (и морфизмах, поскольку ⊗ должно быть бифунктором) категории; она превращает множество объектов в моноид в случае строгой м.к. «Снятие строгости» состоит в том, что от ⊗ требуется некое более слабое условие вместо ассоциативности (ассоциативность «с точностью» до действия фиксированного натурального преобразования, называемого ассоциатором), свойство единицы ослабляется аналогичным образом. Другими словами, можно сказать, что все равенства в аксиомах моноида заменяются на изоморфизмы. Кроме того, от этих изоморфизмов требуются так называемые «условия согласования». В общем, довольно громоздкая конструкция получается.

Так вот, как я сказал, в реальной жизни («строгой») ассоциативности чаще всего нет — примеров строгих м.к. не так уж много (в отличие от м.к., примеров которых очень много). Самым популярным примером является категория эндоморфизмов. Вот в книжке Кассела и др. Квантовые группы и инварианты узлов есть ещё один, весьма искусственный, правда, пример.
( Пример. )
Советую всем не очень искушённым в теории категорий тщательно проследить, почему выполняются все необходимые условия для строгой м.к. (то, о чём написано в последних строчках).

В прошлую субботу была продолжена серия докладов, посвящённых теории узлов. Сейчас мы в фазе рассмотрения инвариантов узлов. Ранее был рассмотрен исторически первый такой объект: полином Алекса́ндера. В этот раз мы познакомились с полиномом Джонса и убедились, что он является более тонким инвариантом, чем полином Александера; изложение велось в основном по книге Прасолов, Сосинский, Узлы, зацепления и трёхмерные многообразия.

Куда мы пойдём дальше (будем ли разбирать полином Васильева), и как это выйдет на теорию категорий, я не очень понимаю, но видимо, стоит смотреть в сторону книги: Кассел и др., Квантовые группы и инварианты узлов, где всё это, как я понимаю, увязывается.

( Сводка доклада... )

Вчера Александр Батальщиков положил начало цикла встреч, посвященного разбору четвертой части Rosetta Stone «Computation».

Первый семинар в этом направлении прошёл под общим заголовком комбинаторная логика (КЛ).

( Краткое содержание доклада )

Материал для доклада был взят из книги В. Э. Вольфенгаген «Комбинаторная логика в программировании» и статьи Combinatory logic из английской википедии.

На последней встрече, вчера, было продолжено обсуждение абелевых категорий и «точности». Про первые: обсудили ещё одно (к двум, введённым в прошлый раз) определение абелевой категории, как категории, обогащённой над категорией абелевых групп (я перечислил всю иерархию по Фрейду: предаддитивные-аддитивные-предабелевы-абелевы). Рассмотрели связь мономорфизмов и ядер: вспомнили, что любое ядро, как любой уравнитель, является мономорфизмом; доказали, что если морфизм в абелевой категории является моно и эпи, то он является и изоморфизмом (в общих категориях это не так). Сформулировали без доказательства теорему о разложении любого морфизма абелевой категории в произведение моно и эпиморфизма.

С алгебраической частью было много дырок: я не доготовился. Сначала разбирались с локализацией колец, потом, с горем пополам, ­модулей. Доказали, что функтор локализации точный. Верно было замечено, что не хватает мотивировок, то есть примеров того, чем хороши точные функторы или хотя бы сама локализация. Затем обсуждались Hom-функторы из категории модулей. Вспомнили, что они контравариантные, сформулировали, что они точные слева, посмотрели на пример в котором очевидно теряется точность справа. Затем я хотел привести пример применения Hom-функторов в народном хозяйстве, а именно, в теории симплициальных комплексов. Здесь мне совершенно законно указали на недостаточную аккуратность с понятием ориентированного симплекса.

Как это часто бывает, получилось не совсем то, что предполагалось, а существенно меньше — к сожалению, до функторов не дошли. Сегодняшний доклад можно было бы назвать «Точные последовательности и абелевы категории».

Моя задумка: как можно сильней связать алгебру и ТК. Идея доклада родилась из книжки Schenck, Computational algebraic geometry, (CUP, 2003) (глава 6, Functors: Localization, Hom, and Tensor). Там от категорий только слово функтор в основном, автор не очень стремится развивать использование категорного аппарат. Однако там в центре внимание точность функторов (сохранения точных последовательностей). Разбираясь с темой, я увидел, что это близко к абелевым категориям: в них удобно рассматривать точные последовательности.

( Подробности доклада... ) Если это продолжать, хотелось бы сделать следующее.
1) доказать эквивалентность определений абелевых категорий (всё-таки важное понятие и такое доказательство могло бы углубить понимание, мне кажется).
2) обсудить какие-нибудь хорошие свойства абелевых категорий. Например, мне очень нравится, что в ней выполнено следующее: моно+эпи=изо (чего нет в общих категориях). Эта теорема есть, например, в книге Freyd, Abelian categories, Introduction to theory of functors (1984), но я совершенно не понимаю доказательства в ней (именно, интересуют доказательства 2.11, 2.12 ­— надеюсь на помощь более опытных товарищей).
3) дойти всё-таки до обещанных точных функторов, может быть, в более категоризованной форме, чем в книге Schenck.
4) продолжить знакомство с понятиями алгебраической геометрии, использующими категорный аппарат, по книге Schenck: глава 8, Snake Lemma, Derived Functors, Tor and Ext.

Я готов в следующий раз попытаться продолжить по этому плану, если у Османа нет возражений или других предложений. У нас есть ещё Коля с алгебраической топологией, но он сказал, что ему хотелось бы через две недели.

kid_a_2009 с удивлением говорила, что горячие головы собираются применять алгебры Клиффорда в цифровой обработке сигналов и жаловалась на абстрактность этой штуки. В принципе, поддерживаю. Каждый раз, когда садился читать главы про тензорные произведения и их вариации у Ленга и ван дер Вардена, до этих алгебр не дочитывал. В современных учебниках по общей алгебре (Hungerford, Dummit&Foote) такого (в основном тексте) и вовсе нет (всё-таки должен быть уклон в линейку). Решил посмотреть, где ещё можно прочитать про этого зверя, в чём мне, как обычно, очень помог поиск по индексам библиотеки мехмата МГУ: нашёл книжку Каруби, К-теория: Введение. Оказалось, что это в чистейшем виде универсальный объект с точки зрения теории категорий, и как таковой ( определить его довольно просто... )

Несколько статей с изложением графического бикатегорного исчисления. Насколько я понимаю, авторы - "птенцы гнезда" Baez'a:

Aaron D. Lauda
A categorification of quantum sl(2). Начиная со страницы 18.
Frobenius algebras and ambidextrous adjunctions
Frobenius algebras and planar open string topological field theories

Bruce Bartlett
The geometry of unitary 2-representations of finite groups and their 2-characters

Под влиянием идей Abramsky & Coecke (см. напр. Kindergarten Quantum Mechanics) Andrew Turner разрабатывает инструмент для вычислений над квантовомеханическими системами с использованием графического языка моноидальных категорий. Под руководством самого Абрамски.

Идею приветствую, т.к. бывает сложно рисовать большие расчеты в моноидальных категориях на бумаге. В идеале хотелось бы иметь нечто (а) с распознаванием графических образов и (б) с возможностью добавления новых правил преобразований. Ну и уж совсем в идеальном идеале - в размерности 3 (например, для работы с моноидальными функторами).

Но пока не скачивал. Если кто попробует - расскажите. :)

Итак, у нас прошло примерно 4 семинара уже и ни по одному никто ничего мы отчета не предоставили. Поэтому возьму на себя смелость чуть-чуть рассказать, что же происходило.

Сначала repalov за два семинара рассказал нам про моноидальные категории и про strictification theorem. Лично мне это было чрезвычайно полезно, поскольку текст Армстронга я просмотрел, но разобрать подробно ленился. Мы на семинаре с этим текстом и работали, т.е. полное доказательство не провели (и не успели бы, я думаю).

Потом Николай Георгиевич Шамраев должен был провести два-три семинара по теории узлов, но провел пока только один, потому что заболел (Коля, выздоравливай). Он рассказал нам что такое узлы, пути и их классы эквивалентности, что такое фундаментальные группы узлов и как вычислять для них представление Виртингера.

Ну вот, а потом я, узнав о Колиной болезни, попытался подготовиться и рассказать про замкнутые и компактно-замкнутые моноидальные категории. Подготовился не очень хорошо, прошу прощения - это выразилось в том, что я запутался в порядке множителей в домене eval'a. Но я таки вывернулся, сказав, что в симметричном и сплетенном случаях это все не так важно.

Вообще хотелось бы видеть в будущем больше топосной тематики. Сам я топосы не очень люблю и плохо понимаю, поэтому неосознанно предлагаю темы в других направлениях. Но это неправильно, давайте уже что-то с этим придумывать.

Организационная встреча прошла успешно. Приблизительный план на ближайшие несколько семинаров у нас, насколько я понял, будет следующим:

моноидальные категории →
узлы и косы →
графические языки моноидальных категорий →
категория плетений