Теория категорий, семинар мехмата ЮФУ

Пример строгой моноидальной категории

2009-12-14T19:51:42Z

У нас на семинаре как-то обсуждалось, какие можно придумать примеры строгих моноидальных категорий. Известно, что их мало в сравнении с моноидальными категориями. Напомню, что «моноидальность» заключается в ведении операции, обычно обозначаемой ⊗, на объектах (и морфизмах, поскольку ⊗ должно быть бифунктором) категории; она превращает множество объектов в моноид в случае строгой м.к. «Снятие строгости» состоит в том, что от ⊗ требуется некое более слабое условие вместо ассоциативности (ассоциативность «с точностью» до действия фиксированного натурального преобразования, называемого ассоциатором), свойство единицы ослабляется аналогичным образом. Другими словами, можно сказать, что все равенства в аксиомах моноида заменяются на изоморфизмы. Кроме того, от этих изоморфизмов требуются так называемые «условия согласования». В общем, довольно громоздкая конструкция получается.

Так вот, как я сказал, в реальной жизни («строгой») ассоциативности чаще всего нет — примеров строгих м.к. не так уж много (в отличие от м.к., примеров которых очень много). Самым популярным примером является категория эндоморфизмов. Вот в книжке Кассела и др. Квантовые группы и инварианты узлов есть ещё один, весьма искусственный, правда, пример.

Советую всем не очень искушённым в теории категорий тщательно проследить, почему выполняются все необходимые условия для строгой м.к. (то, о чём написано в последних строчках).

«Полином Джонса»

2009-12-08T19:38:42Z

В прошлую субботу была продолжена серия докладов, посвящённых теории узлов. Сейчас мы в фазе рассмотрения инвариантов узлов. Ранее был рассмотрен исторически первый такой объект: полином Алекса́ндера. В этот раз мы познакомились с полиномом Джонса и убедились, что он является более тонким инвариантом, чем полином Александера; изложение велось в основном по книге Прасолов, Сосинский, Узлы, зацепления и трёхмерные многообразия.

Куда мы пойдём дальше (будем ли разбирать полином Васильева), и как это выйдет на теорию категорий, я не очень понимаю, но видимо, стоит смотреть в сторону книги: Кассел и др., Квантовые группы и инварианты узлов, где всё это, как я понимаю, увязывается.

Краткая сводка доклада. (С напоминанием некоторых базовых фактов.) Узел это гомеоморфизм плоской окружности S¹ в трёхмерное вещественное евклидово пространство R³. Узлы обычно рассматриваются с точностью до «изотопии», в данном случае объемлющей изотопии: гомотопии в R³, из тождественного отображения в отображение, переводящее один узел в другой. Обычно ограничиваются рассмотрением «хороших» классов узлов — изотопных гладким (как отображениям) узлам — т.н. «ручными узлами».

Определяются диаграммы узлов — образы узлов на плоскости R²: S¹ → R³ → R². Ситуация изотопии узлов в пространстве переводится в диаграммы с помощью плоских изотопий и так называемых преобразований Рейдемейстера диаграмм узлов, коих имеется три типа. Справедлива

Теорема Рейдемейстера. Два узла изотопны тогда и только тогда, когда их диаграммы могут быть получены одна из другой с помощью плоских изотопий и преобразований Рейдемейстера.

Таким образом, поиск инвариантов узлов (неких — чаще алгебраических — объектов, остающихся неизменными при изотопиях узлов) мы можем заменить на поиск инвариантов диаграмм узлов, остающихся неизменными при плоских изотопиях и преобразованиях Рейдемейстера. На этом пути вводится скобка Кауффмана — как полином, получающийся применением некоторой процедуры к диаграмме узла. Доказывается, что эта процедура для каждой диаграммы неориентированного узла L однозначно определяет полином, обозначаемый <L>. Доказывается, что этот полином инвариантен относительного плоских изотопий и второго и третьего преобразований Рейдемейстера. Интересным является способ получения из этого объекта уже настоящего инварианта.

Рассматриваются ориентированные узлы, для них вводится некоторая числовая характеристика: число закрученности. Можно показать, что оно также инвариантно относительно плоских изотопий и второго и третьего преобразований Рейдемейстера. Теперь у нас есть два объекта с такими свойствами, правда, одно (скобка Кауфмана) для неориентированного узла, второе (число закрученности) для ориентированного. Оказывается, что их можно объединить в достачно простом выражении, зависящем от диаграммы орузла (скобка Каумана считается от этой диаграммы с забытой ориентацией), которое уже инвариантно относительно плоских изотопий и всех трёх преобразований Рейдемейстера — так получается полином Кауфмана.

Полином Джонса получается из полинома Кауфмана простой заменой переменных. Исторически первым, однако, было другое определение полинома Джонса: как полинома, удовлетворяющего двум условиям: равенству единице на тривиальном узле и удовлетворяющему определённому соотношению типа скейн-соотношения. Это определение мы использовали для подсчёта полиномов Джонса нескольких конкретных узлов.

«Теория категорий и теория вычислений»

2009-11-29T00:59:20Z

Вчера Александр Батальщиков положил начало цикла встреч, посвященного разбору четвертой части Rosetta Stone «Computation».

Первый семинар в этом направлении прошёл под общим заголовком комбинаторная логика (КЛ).

Введение. Для начала, докладчик знакомил слушателей с основными понятиями КЛ: переменная, комбинатор, применение, терм. Были рассмотрены примеры комбинаторов:
1) I x = x,
2) K x y = x,
3) S x y z = x z (y z).
Показано, что I может быть построен через K и S.
4) B x y z = x (y z)
5) С x y z = x y z
6) W x y = x y y

Полнота. Сформулировали теорему о том, что исчисление комбинаторов полно по Тьюрингу. Сказали, что для доказательства достаточно показать эквивалентность КЛ и лямбда-исчисления (которое, как известно полно по Тьюрингу), для чего придумать правила, переводящие любой терм КЛ в лямбда-терм и наоборот. В одну сторону (из КЛ в лямбда) это оказывается тривиальным. Правила же перехода из λ-исчисления в КЛ:

1. T[x] => x
2. T[(E_1 E_2)] => (T[E_1] T[E_2])
3. T[λx.E] => (K T[E]) (если x связно в E)
4. T[λx.x] => I
5. T[λx.λy.E] => T[λx.T[λy.E]] (если x свободно в E)
6. T[λx.E_1 E_2] => S T[λx.E_1] T[λx.E_2]

вызвали значительно больше обсуждений. В частности, обсуждалась эквивалентность 3-его и 6-ого правил для терма вида λx.E_1 E_2, где x — связная переменная в E_1 E_2. Затруднения вызвал тот факт, что, можно обозначить E_1 E_2 как E и тогда, сторого говоря, непонятно какое из правил (третье или шестое) применять.
На этом обсуждение доказательства завершилось.

Пример. В качестве примера рассмотрели λ-терм λx.λy.yx и его перевод в КЛ:

T[λx.λy.yx] = ... = S (K (S I)) (S (K K) I)

При проведении вычислений заметили, что не хватает правила: T[P] => P (где P - комбинатор), несмотря на это, не преминули им воспользоваться.
То что получилось, применили к x y. Оказалось, этот терм просто меняет местами два своих параметра:

S (K (S I)) (S (K K) I) x y = ... = y x

К уже существующим правилам добавили это:

7. T[(λx.Ex)] => T[E].

Оно выводится из первых 6, но может упростить вычисление T.

Ещё пример.

S I I x = I x (I x) = I x x = x x.

Рассмотрим S I I ( S I I) x. Нетрудно видеть, что попытка вычислить такой терм приводит к зацикливанию. Терм S I I ( S I I) обозначили через Ω — традиционно. Прозвучало замечание о том, что, если бы в исчислении не было бы зацикливающихся вычислений, оно не могло бы быть полным по Тьюрингу.

Условная операция. Рассмотрели понятие условной операции, уделив внимание корректности её определения. Обозначение true и false как K и K I соответственно повергло часть публики в замешательство.

Проблема останова. Сказали, что в линейном λ-исчислении редуцирование всегда приводит к НФ, если она есть. После чего была сформулирована теорема: не существует комбинатора, который для любого комбинатора может определить редуцируемый он или нет. Доказательство проводилось от противного. В предположении о существовании такого комбинатора, мы обозначили его N, рассмотрели некоторый конкретный комбинатор Z и убедились, что для него N работает некорректно. Получили противоречие.

Базис. Красной нитью шли толки о том, что S и K образуют базис. В преддверии завершения встречи докладчиком был озвучен интересный факт о существовании одноточечного базиса X:

X x = x S K.

Разумеется (т.к. это базис) S и K также выражаются через X:

X(X(X X)) = K
X(X(X(X X))) = S

Материал для доклада был взят из книги В. Э. Вольфенгаген «Комбинаторная логика в программировании» и статьи Combinatory logic из английской википедии.

«Точные функторы», продолжение

2009-11-22T20:09:38Z

На последней встрече, вчера, было продолжено обсуждение абелевых категорий и «точности». Про первые: обсудили ещё одно (к двум, введённым в прошлый раз) определение абелевой категории, как категории, обогащённой над категорией абелевых групп (я перечислил всю иерархию по Фрейду: предаддитивные-аддитивные-предабелевы-абелевы). Рассмотрели связь мономорфизмов и ядер: вспомнили, что любое ядро, как любой уравнитель, является мономорфизмом; доказали, что если морфизм в абелевой категории является моно и эпи, то он является и изоморфизмом (в общих категориях это не так). Сформулировали без доказательства теорему о разложении любого морфизма абелевой категории в произведение моно и эпиморфизма.

С алгебраической частью было много дырок: я не доготовился. Сначала разбирались с локализацией колец, потом, с горем пополам, модулей. Доказали, что функтор локализации точный. Верно было замечено, что не хватает мотивировок, то есть примеров того, чем хороши точные функторы или хотя бы сама локализация. Затем обсуждались Hom-функторы из категории модулей. Вспомнили, что они контравариантные, сформулировали, что они точные слева, посмотрели на пример в котором очевидно теряется точность справа. Затем я хотел привести пример применения Hom-функторов в народном хозяйстве, а именно, в теории симплициальных комплексов. Здесь мне совершенно законно указали на недостаточную аккуратность с понятием ориентированного симплекса.

«Точные функторы алгебры»

2009-11-14T17:57:41Z

Как это часто бывает, получилось не совсем то, что предполагалось, а существенно меньше — к сожалению, до функторов не дошли. Сегодняшний доклад можно было бы назвать «Точные последовательности и абелевы категории».

Моя задумка: как можно сильней связать алгебру и ТК. Идея доклада родилась из книжки Schenck, Computational algebraic geometry, (CUP, 2003) (глава 6, Functors: Localization, Hom, and Tensor). Там от категорий только слово функтор в основном, автор не очень стремится развивать использование категорного аппарат. Однако там в центре внимание точность функторов (сохранения точных последовательностей). Разбираясь с темой, я увидел, что это близко к абелевым категориям: в них удобно рассматривать точные последовательности.

Я начал с алгебры. На примере групп рассказал про точные последовательности, короткие точные последовательности, попытался всех убедить, что это интересно и полезно. К сожалению, опыта у меня не хватает, так что, в основном, пересказывал Википедию про extension problem — решение уравнения, когда в короткой точной последовательности неизвестен средний член, привёл splitting lemma, которая даёт условия, при которых получается решить это уравнение однозначно (с точностью до изоморфизма), и, собственно, решение; упомянул про применения в задачи классификации простых конечных групп.

Категории. Дальше медленно, но верно стал подбираться к тому, чтобы понятие точности перевести в категорный язык и, одновременно, определить абелевы категории. Ввёл 0-объект (по определению, одновременно терминальный и инициальный), семейства 0-морфизмов 0_{A,B} для любых A и B, объектов категории с 0-объектом. (Ко)Ядра морфизма (как (ко)уравнителя этого морфизма и 0-морфизма; заодно вспомнили и закрепили понятие (ко)уравнителя). Напомнил понятие моно(эпи)морфизма. Ввёл понятия оттягивания и выталкивания (pullback/pushout).

Наконец, ввёл понятие абелевой категории. Абелева категория довольно хитрое понятие: существует несколько подходов к определению. Я сказал так (просьба поправлять, если я был не точен): C — абелева, если выполнено:
1) есть 0-объект
2) каждый моно(эпи)морфизм нормален (т.е. является (ко)ядром какого-то морфизма)
3' ) есть pullbacks, pushouts
3'') есть конечные (ко)произведения и у любого морфизма есть (ко)ядро
Достаточно требовать только одно из 3' и 3'', другое может быть доказано. Этот факт заинтересовал аудиторию, как и меня, но я не успел заранее разобраться с доказательством. Более сильная теорема, содержащая третье определение и их эквивалентность приведена с доказательством в книге Mitchell, Theory of Categories (1965) (Th. 20.1).

На этом всё кончилось. До функторов, к сожалению, не дошли. Если это продолжать, хотелось бы сделать следующее.
1) доказать эквивалентность определений абелевых категорий (всё-таки важное понятие и такое доказательство могло бы углубить понимание, мне кажется).
2) обсудить какие-нибудь хорошие свойства абелевых категорий. Например, мне очень нравится, что в ней выполнено следующее: моно+эпи=изо (чего нет в общих категориях). Эта теорема есть, например, в книге Freyd, Abelian categories, Introduction to theory of functors (1984), но я совершенно не понимаю доказательства в ней (именно, интересуют доказательства 2.11, 2.12 — надеюсь на помощь более опытных товарищей).
3) дойти всё-таки до обещанных точных функторов, может быть, в более категоризованной форме, чем в книге Schenck.
4) продолжить знакомство с понятиями алгебраической геометрии, использующими категорный аппарат, по книге Schenck: глава 8, Snake Lemma, Derived Functors, Tor and Ext.

Я готов в следующий раз попытаться продолжить по этому плану, если у Османа нет возражений или других предложений. У нас есть ещё Коля с алгебраической топологией, но он сказал, что ему хотелось бы через две недели.

Алгебры Клиффорда: категорный подход

2009-11-01T17:08:46Z

kid_a_2009 с удивлением говорила, что горячие головы собираются применять алгебры Клиффорда в цифровой обработке сигналов и жаловалась на абстрактность этой штуки. В принципе, поддерживаю. Каждый раз, когда садился читать главы про тензорные произведения и их вариации у Ленга и ван дер Вардена, до этих алгебр не дочитывал. В современных учебниках по общей алгебре (Hungerford, Dummit&Foote) такого (в основном тексте) и вовсе нет (всё-таки должен быть уклон в линейку). Решил посмотреть, где ещё можно прочитать про этого зверя, в чём мне, как обычно, очень помог поиск по индексам библиотеки мехмата МГУ: нашёл книжку Каруби, К-теория: Введение. Оказалось, что это в чистейшем виде универсальный объект с точки зрения теории категорий, и как таковой определить его довольно просто.

Напомню, что если b — объект категории C, а S: D → C — некоторый функтор, то можно определить категорию объектов под b относительно S, обозначаемую (b↓S), её объектами являются пары (f,d), где d∊Ob(D), f: b → Sd, а стрелками h: (f,d) → (f',d') — все те стрелки h: d → d' в D, для которых f'=Sh∘f. (Маклейн, 2.6).

Пусть U — забывающий функтор из категории k-алгебр k-Alg в категорию k-Vec векторных пространств над k; V — векторное пространство над k, Q — квадратичная форма на нём. Пусть O(V,Q) подкатегория категории (V↓U), в которой оставлены лишь те объекты (f,a), для которых выполнено ∀v∊V f²(v)=Q(v)1. Алгеброй Клиффорда называется инициальный объект O(V,Q).

Наверное, в этом определении условие, использующее элементы v∊V, можно как-то заменить (ко)уравнителями, но тут надо думать...

Я не знаю, можно ли доказать категорными методами существование такого инициального объекта — думаю, нет. Алгебраическое доказательство предъявляет соответствующую конструкцию. Нужная k-алгебра C(V,Q) получается как фактор тензорной алгебры T(V) пространства V по идеалу, порождённому элементами v⊗v - Q(v)1; нужная стрелка из V в C(V,Q) очевидна (композиция вложения V в T(V) и канонического гомоморфизма в фактор).

Если вспомнить, что T(V) это прямая сумма тензорных степеней T^i(V)=V⊗…⊗V (i сомножителей) для всех натуральных i, то станет ясно, что мне это всё понятней потому, что про тензорные произведения я как-то писал в таком стиле.

Статьи по бикатегорной графике.

2009-10-11T07:24:10Z

Несколько статей с изложением графического бикатегорного исчисления. Насколько я понимаю, авторы - "птенцы гнезда" Baez'a:

Aaron D. Lauda
A categorification of quantum sl(2). Начиная со страницы 18.
Frobenius algebras and ambidextrous adjunctions
Frobenius algebras and planar open string topological field theories

Bruce Bartlett
The geometry of unitary 2-representations of finite groups and their 2-characters

Программа от Andrew Turner.

2009-10-06T14:34:32Z

Под влиянием идей Abramsky & Coecke (см. напр. Kindergarten Quantum Mechanics) Andrew Turner разрабатывает инструмент для вычислений над квантовомеханическими системами с использованием графического языка моноидальных категорий. Под руководством самого Абрамски.

Идею приветствую, т.к. бывает сложно рисовать большие расчеты в моноидальных категориях на бумаге. В идеале хотелось бы иметь нечто (а) с распознаванием графических образов и (б) с возможностью добавления новых правил преобразований. Ну и уж совсем в идеальном идеале - в размерности 3 (например, для работы с моноидальными функторами).

Но пока не скачивал. Если кто попробует - расскажите. :)

Сводный... нет, не хор - отчет!

2009-10-05T08:10:22Z

Итак, у нас прошло примерно 4 семинара уже и ни по одному ~~никто ничего~~ мы отчета не предоставили. Поэтому возьму на себя смелость чуть-чуть рассказать, что же происходило.

Сначала repalov за два семинара рассказал нам про моноидальные категории и про strictification theorem. Лично мне это было чрезвычайно полезно, поскольку текст Армстронга я просмотрел, но разобрать подробно ленился. Мы на семинаре с этим текстом и работали, т.е. полное доказательство не провели (и не успели бы, я думаю).

Потом Николай Георгиевич Шамраев должен был провести два-три семинара по теории узлов, но провел пока только один, потому что заболел (Коля, выздоравливай). Он рассказал нам что такое узлы, пути и их классы эквивалентности, что такое фундаментальные группы узлов и как вычислять для них представление Виртингера.

Ну вот, а потом я, узнав о Колиной болезни, попытался подготовиться и рассказать про замкнутые и компактно-замкнутые моноидальные категории. Подготовился не очень хорошо, прошу прощения - это выразилось в том, что я запутался в порядке множителей в домене eval'a. Но я таки вывернулся, сказав, что в симметричном и сплетенном случаях это все не так важно.

Вообще хотелось бы видеть в будущем больше топосной тематики. Сам я топосы не очень люблю и плохо понимаю, поэтому неосознанно предлагаю темы в других направлениях. Но это неправильно, давайте уже что-то с этим придумывать.

Планы

2009-09-06T17:04:07Z

Организационная встреча прошла успешно. Приблизительный план на ближайшие несколько семинаров у нас, насколько я понял, будет следующим:

моноидальные категории →
узлы и косы →
графические языки моноидальных категорий →
категория плетений

Изменение.

2009-09-02T08:16:57Z

Решено перенести начало субботнего семинара на 15.45 (чтобы соответствовать расписанию занятий).

Суббота 5 сентября, к.302 мехмата, 15.45.

В субботу встречаемся.

2009-09-01T15:23:04Z

Пока лишь для обсуждения планов семинара. Возможно, сведения, полученные на семинаре в прошлом семестре, помогут нам выработать какие-то предложения по его улучшению.

Итак, в субботу 5 сентября в 15.00 возле аудитории 302 на мехмате.

Движок блога

2009-06-06T10:53:28Z

Мне очень нравится, как выглядят посты, содержащие математику, на сервисе wordpress.com. Можете взглянуть, например: курс по геометрической теории групп. Как я понимаю, эта поддержка там есть по умолчанию — в отличие от livejournal.com.

Обращаюсь к читателям блога и коллегам: как бы вы отнеслись к переезду блога на wordpress.com?

Я понимаю, что это может быть сопряжено с некоторыми неудобствами. Мне самому, читающему много всего интересного именно через френд-ленту LJ, придётся продумывать, как следить за блогом на wordpress. Там, естественно, есть фидсы. Наверное, кто-то уже реализовывал синдикацию блога wordpress в LJ, но такие решения нужно искать и разбираться с ними.

Встреча 30.05.09

2009-06-06T09:51:55Z

На последней встрече в субботу мы разобрали несколько графических примеров: строили формулы по рисункам. Занятие весёлое, но отнимающее массу времени.

Затем мы познакомились с понятием строгой моноидальной категории и начали знакомство собственно с моноидальными категориями.

Срогой моноидальной категорией (СМК) называется тройка ⟨C, ⊗, 1⟩, где C категория, ⊗: C × C → C бифунктор в C, 1 объект в C, причём выполнены равенства: (X⊗Y)⊗Z = X⊗(Y⊗Z), X⊗1 = X = 1⊗X для всех объектов X, Y, Z категории C.

Как обычно, допуская вольность, говорят, что категория C это СМК, если можно задать ⊗ и 1, такие что тройка ⟨C, ⊗, 1⟩ будет удовлетворять определению СМК.

Было замечено, что свойство быть СМК весьма ограничительно. К примеру, категория множеств Set с декартовым произведением × и одноэлементным множеством {*} не явлется строгой моноидальной категорией, потому что для любого множества A = {a, b, ...}: A×{*} ≠ A (а именно, {(a,*), (b,*), ...} ≠ {a, b, ...}). Один из немногих примеров СМК — категория эндофункторов End(C) для некоторой категории C.

Владимир Алексеевич поднимал вопрос, являются ли векторные пространства (ВП) с тензорным произведением СМК. Я думаю, что нет. Примерно по той же причине, что и множества, в общем.

Я напомню, что такое тензорные произведения ВП (лучше брать не ВП, а модули, но вдруг так кому-то проще). Пусть даны два ВП: X, Y над полем k (далее все ВП будут рассматриваться над этим полем). Рассмторим категорию билинейных отображений из X × Y в произвольные векторные пространства (это отображения от двух аргументов, первый из X, второй из Y, поочерёдно фиксируя каждый из которых, мы получаем линейное отображение по второму). Морфизмами в этой категории являются линейные отображения ВП, такие что, если f: X × Y → Z₁, g: X × Y → Z₂ — два объекта этой категории, то h: Z₁ → Z₂ является морфизмом из f в g, если и только если g = hf. Обозначим эту категорию Bilin(X, Y).

Тензорным произведением ВП X и Y называется инициальный объект в Bilin(X, Y) (Ленг, XVI, §1).

Это абстрактное определение ВП. Там, где за основу берётся оно, сразу доказывается что соответствующий инициальный объект существует, причём доказательство конструктивно, то есть предъявляется конструкция соответствующего отображения. Более традиционным является подход, где всё начинается с этой конструкции.

Сначала нужно определить ВП — область значений искомого билинейного отображения X × Y. Пусть M это свободное ВП, порождённое множеством X × Y, т.е. множество всех конечных формальных сумм
\sum_i {α_i(x_i,y_i)},
где α_i из k, x_i из X, y_i из Y с естественными операцией сложения (сумма двух конечных сумм — конечная сумма, при необходимости приводятся подобные; это похоже на сложение многочленов от большого числа переменных, x_i, y_i) и умножением на скаляр из k. Определим отображение f̂: X × Y → M так: f̂(x,y) = (x,y). Чтобы получить из f̂ билинейное отображение — назовём его f — нужно отождествить некоторые элементы M. Например, для билинейности требуется, чтобы f(αx,y) = αf(x,y), тогда нужно отождествить α(x,y) и (αx,y). Отождествление в алгебре делается с помощью факторизации. Определим подмодуль M: N — модуль порождённый элементами, имеющими один из следующих четырёх видов:
α(x,y) - (αx, y), β(x,y) - (x, βy), (x₁+x₂,y) - (x₁,y) - (x₂,y), (x,y₁+y₂) - (x,y₁) - (x,y₂).
Определено каноническое отображение j: M → M/N, сопоставляющее каждому элементу M его класс эквивалентности в M/N. Интересующее нас билинейное отображение это f = jf̂.

Часто тензорным произведением называют не f, а M/N, так как f получается композицией двух довольно тривиальных отображений. M/N обозначают X⊗Y. Элемент f(x,y) обозначают x⊗y.

Теперь, собственно вопрос, являются ли ВП с произведением ⊗ СМК. По приведённой выше конструкции видно, что нет, потому что результат операции ⊗ начинается с декартова произведения. И так же как в случае множеств даже после натягивания свободной конструкции и факторизации там не будет одинаковых множеств, а значит — и одинаковых ВП. Так, в случае X⊗(Y⊗Z) элементом множества будет класс эквивалентности (то есть просто множество) конечных формальных сумм, слагаемыми которых являются пары: элемент x и элемент Y⊗Z, а в случае (X⊗Y)⊗Z — пары: элемент (X⊗Y) и элемент Z. Очевидно, такие множества не равны.

Понятие (нестрогой) моноидальной категории очень похоже на СМК: также требуется существование ⊗ и 1, но условия на них теперь содержат не равенства, а естественные изоморфизмы соответствующих агрегатов. Однако необходимо добавить дополнительное условие согласования (или, как пишет Маклейн, когерентности) «повторных произведений» (выражений вида (X₁⊗(X₂⊗(X₃⊗X₄))), где скобки можно расставлять по-разному). Это условие мы рассмотреть не успели.

Векторные пространства с тензорным произведением ⊗ уже является моноидальной категорией.

Семинар делает летний перерыв. Время возобновления точно пока не определено.

Прошедшие встречи и планы.

2009-05-28T08:58:42Z

Как-то мы перестали здесь отчитываться о прошедших семинарах, поэтому я вкратце опишу что происходило.

25-го апреля Владимир Алексеевич Стукопин сделал доклад "Алгебры Хопфа и их приложения в теории представлений и математической физике". К сожалению, до использования теории категорий в этой тематике он дойти не успел, изложил только лишь предварительные сведения из теории квантовых групп и обрисовал перспективы развития этого раздела математики.

Следующая встреча случилась уже 16-го мая, две субботы мы пропустили из-за праздников. Я закончил запланированный рассказ о сопряженных функторах и начал тему монад. Все - используя бикатегорные диаграммы. Слайды не выкладывал, т.к. там мало что добавилось к 7-му семинару, а монады я рассказывал уже "на доске".

Дальше мы решили немного отвлечься на моноидальные категории, т.к. они постоянно нужны. 23-го мая я дал основные определения, но опять без слайдов, "на доске".

Следующая (и, возможно, последняя до осени) встреча состоится в субботу 30-го мая, это будет повтор предыдущего доклада для тех, кто не смог его услышать на прошлой встрече.

sfedu_ctseminar @ 2009-05-13T15:58:00

2009-05-13T13:25:59Z

добрый день

в данный момент пытаюсь разобраться в ТК, читая книгу "Goldblatt. Topoi: The Categorial Analysis of Logic" (так уж получилось, что у меня есть только англоязычный её вариант), в процессе разбора возникают вопросы. буду благодарен, если поможете разобраться

1) в качестве примера упоминается группа как категория, содержащая один объект, в которой каждая стрелка - изо. объектом для группы (M, *, e) является множество M, а вот что является стрелками? в принципе даже понятно, почему они все должны быть изо, но вот примеров таких стрелок я представить не могу

2) немного англоязычной терминологии. pre-order - категория, в которой между любыми двумя объектами не более одной стрелки. верно ли это? если да, то как понимать определение partial order, которое добавляет требование антисимметричности (чтобы оно не выполнялось, стрелок между объектами должно быть как минимум две - в одну и другую сторону)? чувствую, что упускаю что-то очень базовое, однако в растерянности. или я здесь путаю категорию и множество?

3) как доказывается полнота, ко-полнота, конечная полнота категорий (пример бы доказательства)? какой русский термин соответствует Cartesian closed category?

заранее спасибо. вопросов ещё много, буду задавать по мере прояснения. прошу извинить, если вопросы глупые - по мере повышения уверенности в предмете уровень вопросов и тем для обсуждения (я надеюсь) будет повышаться

P.S. нашёл копилку статей сообщества, впечатлился

Перерыв

2009-04-30T08:41:33Z

До 16-го мая мы делаем перерыв в работе семинара. К 16-му я готовлю доклад в продолжение темы о сопряженных функторах. Хотелось конечно в этом семестре дойти до моноидальных категорий (значительная часть статей в нашей копилке использует это понятие), но видимо не успеваем.

Архив

2009-04-22T05:31:09Z

Изменен адрес файлового архива нашего семинара. Там можно найти и аудиозапись последней встречи. Большое спасибо ulysses4ever и repalov.

Аудиозапись семинара про индуктивные типы данных (18 апреля)

2009-04-21T05:24:07Z

Сейчас лежит здесь:
http://rapidshare.com/files/223861065/tc18-04-09.MP3.html
(55 МБ в формате mp3 vbr 160kb, 2 часа).

Есть идея разместить на сайте мехмата, но ввиду ограничений на объём (неизвестных мне) пока не получилось.

О семинаре 18 апреля.

2009-04-20T13:24:53Z

Как я уже озвучивал, мне очень понравилась прошедшая встреча и я хотел бы, чтобы именно таких семинаров у нас было много. Поэтому на нижеследующую критику (а ее совсем мало) можно особого внимания не обращать, это по обязанности.

1. Не очень четко были озвучены преимущества программирования в ката(ана)морфизмах.
2. Конструирование индуктивных типов стоило разобрать более подробно (рассмотрев, например, деревья). Человеку, незнакомому с индуктивными типами, нелегко понять "к чему это все".
3. Стоило заострить внимание на том факте, что вычисление катаморфизма происходит совершенно "автоматически" после того, как функтор и его инициальная алгебра нам известны.

Но с другой стороны, при том двухчасовом лимите времени, на который мы обычно ориентируемся, охватить столько материала было бы трудно.

Индуктивные типы данных

2009-04-18T15:51:35Z

Презентация (исходник). Это закачено на сайт ИТ, предлагаю регистрироваться там и туда закачивать (после регистрации нужно сказать мне, чтобы добавил права): удобно, потому что доступно из сети ЮФУ, которая, в частности, сейчас бесплатно разлита по мехмату в форме вай-фая.

UPD: на 8-м слайде исправлена стрелка на левой грани коммутативной диаграммы: [1, f] на 1+f (21:00, 19.04).

В презентации добавил литературу, исправил определение умножения через катаморфизм, foldr посмотрел в Википедии: вроде правильно.

Также (с помощью bravit'а) завёл страницу семинара.

Каждая стрелка из суммы это сумма стрелок?

2009-04-12T21:15:48Z

На такое утверждение опирается одна работа, которую сейчас разбираю. Мне оно не очевидно. Очевидно другое, что для каждой пары стрелок (с общим кодоменом) из слагаемых есть стрелка из суммы и её можно как раз считать суммой стрелок — это по определению. Фактически, тут утверждается и обратное.

Символически. Пусть есть A, B, A+B, X — обекты в C. Отображение

    Hom(A, X) × Hom(B, X) → Hom(A+B, X)

есть по определению суммы. Есть ли отображение:

    Hom(A+B, X) → Hom(A, X) × Hom(B, X)

? Тут ещё, видимо, нужно сформулировать какие-то требования к этому отображению, не знаю. Просто в той работе употребляется в таком стиле: «возьмём стрелку из суммы; разумеется, это сумма каких-то двух стрелок из слагаемых...» — и дальше именно с суммой стрелок идёт работа.

Граф как функтор в категорию Set

2009-04-12T15:48:51Z

У нас есть категория С с двумя объектами A и B и двумя морфизмами из A в B, которые мы назвали cod и dom. Тогда функтор из такой категории в Set есть граф. Его вершины — образы B, а дуги — образы A.

Нарисовала как я себе это представляю:

Мне не понятно почему idA переходит в тождественное отоборажение дуг в себя, idB — в тождественное отображение вершин в себя.