?

Log in

No account? Create an account

sfedu_ctseminar

Пример строгой моноидальной категории

Dec. 14th, 2009 | 10:51 pm
posted by: ulysses4ever in sfedu_ctseminar

У нас на семинаре как-то обсуждалось, какие можно придумать примеры строгих моноидальных категорий. Известно, что их мало в сравнении с моноидальными категориями. Напомню, что «моноидальность» заключается в ведении операции, обычно обозначаемой ⊗, на объектах (и морфизмах, поскольку ⊗ должно быть бифунктором) категории; она превращает множество объектов в моноид в случае строгой м.к. «Снятие строгости» состоит в том, что от ⊗ требуется некое более слабое условие вместо ассоциативности (ассоциативность «с точностью» до действия фиксированного натурального преобразования, называемого ассоциатором), свойство единицы ослабляется аналогичным образом. Другими словами, можно сказать, что все равенства в аксиомах моноида заменяются на изоморфизмы. Кроме того, от этих изоморфизмов требуются так называемые «условия согласования». В общем, довольно громоздкая конструкция получается.

Так вот, как я сказал, в реальной жизни («строгой») ассоциативности чаще всего нет — примеров строгих м.к. не так уж много (в отличие от м.к., примеров которых очень много). Самым популярным примером является категория эндоморфизмов. Вот в книжке Кассела и др. Квантовые группы и инварианты узлов есть ещё один, весьма искусственный, правда, пример.
Пример.Collapse )
Советую всем не очень искушённым в теории категорий тщательно проследить, почему выполняются все необходимые условия для строгой м.к. (то, о чём написано в последних строчках).
Tags:

Link | Leave a comment {13} |

sfedu_ctseminar

«Полином Джонса»

Dec. 8th, 2009 | 10:38 pm
posted by: ulysses4ever in sfedu_ctseminar

В прошлую субботу была продолжена серия докладов, посвящённых теории узлов. Сейчас мы в фазе рассмотрения инвариантов узлов. Ранее был рассмотрен исторически первый такой объект: полином Алекса́ндера. В этот раз мы познакомились с полиномом Джонса и убедились, что он является более тонким инвариантом, чем полином Александера; изложение велось в основном по книге Прасолов, Сосинский, Узлы, зацепления и трёхмерные многообразия.

Куда мы пойдём дальше (будем ли разбирать полином Васильева), и как это выйдет на теорию категорий, я не очень понимаю, но видимо, стоит смотреть в сторону книги: Кассел и др., Квантовые группы и инварианты узлов, где всё это, как я понимаю, увязывается.

Сводка доклада...Collapse )
Tags:

Link | Leave a comment {4} |

«Теория категорий и теория вычислений»

Nov. 29th, 2009 | 03:59 am
posted by: kassalanche in sfedu_ctseminar

Вчера Александр Батальщиков положил начало цикла встреч, посвященного разбору четвертой части Rosetta Stone «Computation».

Первый семинар в этом направлении прошёл под общим заголовком комбинаторная логика (КЛ).

Краткое содержание докладаCollapse )

Материал для доклада был взят из книги В. Э. Вольфенгаген «Комбинаторная логика в программировании» и статьи Combinatory logic из английской википедии.
Tags:

Link | Leave a comment {18} |

sfedu_ctseminar

«Точные функторы», продолжение

Nov. 22nd, 2009 | 11:09 pm
posted by: ulysses4ever in sfedu_ctseminar

На последней встрече, вчера, было продолжено обсуждение абелевых категорий и «точности». Про первые: обсудили ещё одно (к двум, введённым в прошлый раз) определение абелевой категории, как категории, обогащённой над категорией абелевых групп (я перечислил всю иерархию по Фрейду: предаддитивные-аддитивные-предабелевы-абелевы). Рассмотрели связь мономорфизмов и ядер: вспомнили, что любое ядро, как любой уравнитель, является мономорфизмом; доказали, что если морфизм в абелевой категории является моно и эпи, то он является и изоморфизмом (в общих категориях это не так). Сформулировали без доказательства теорему о разложении любого морфизма абелевой категории в произведение моно и эпиморфизма.

С алгебраической частью было много дырок: я не доготовился. Сначала разбирались с локализацией колец, потом, с горем пополам, ­модулей. Доказали, что функтор локализации точный. Верно было замечено, что не хватает мотивировок, то есть примеров того, чем хороши точные функторы или хотя бы сама локализация. Затем обсуждались Hom-функторы из категории модулей. Вспомнили, что они контравариантные, сформулировали, что они точные слева, посмотрели на пример в котором очевидно теряется точность справа. Затем я хотел привести пример применения Hom-функторов в народном хозяйстве, а именно, в теории симплициальных комплексов. Здесь мне совершенно законно указали на недостаточную аккуратность с понятием ориентированного симплекса.
Tags:

Link | Leave a comment {4} |

sfedu_ctseminar

«Точные функторы алгебры»

Nov. 14th, 2009 | 08:57 pm
posted by: ulysses4ever in sfedu_ctseminar

Как это часто бывает, получилось не совсем то, что предполагалось, а существенно меньше — к сожалению, до функторов не дошли. Сегодняшний доклад можно было бы назвать «Точные последовательности и абелевы категории».

Моя задумка: как можно сильней связать алгебру и ТК. Идея доклада родилась из книжки Schenck, Computational algebraic geometry, (CUP, 2003) (глава 6, Functors: Localization, Hom, and Tensor). Там от категорий только слово функтор в основном, автор не очень стремится развивать использование категорного аппарат. Однако там в центре внимание точность функторов (сохранения точных последовательностей). Разбираясь с темой, я увидел, что это близко к абелевым категориям: в них удобно рассматривать точные последовательности.

Подробности доклада...Collapse ) Если это продолжать, хотелось бы сделать следующее.
1) доказать эквивалентность определений абелевых категорий (всё-таки важное понятие и такое доказательство могло бы углубить понимание, мне кажется).
2) обсудить какие-нибудь хорошие свойства абелевых категорий. Например, мне очень нравится, что в ней выполнено следующее: моно+эпи=изо (чего нет в общих категориях). Эта теорема есть, например, в книге Freyd, Abelian categories, Introduction to theory of functors (1984), но я совершенно не понимаю доказательства в ней (именно, интересуют доказательства 2.11, 2.12 ­— надеюсь на помощь более опытных товарищей).
3) дойти всё-таки до обещанных точных функторов, может быть, в более категоризованной форме, чем в книге Schenck.
4) продолжить знакомство с понятиями алгебраической геометрии, использующими категорный аппарат, по книге Schenck: глава 8, Snake Lemma, Derived Functors, Tor and Ext.

Я готов в следующий раз попытаться продолжить по этому плану, если у Османа нет возражений или других предложений. У нас есть ещё Коля с алгебраической топологией, но он сказал, что ему хотелось бы через две недели.
Tags:

Link | Leave a comment {13} |

sfedu_ctseminar

Алгебры Клиффорда: категорный подход

Nov. 1st, 2009 | 08:08 pm
posted by: ulysses4ever in sfedu_ctseminar

kid_a_2009 с удивлением говорила, что горячие головы собираются применять алгебры Клиффорда в цифровой обработке сигналов и жаловалась на абстрактность этой штуки. В принципе, поддерживаю. Каждый раз, когда садился читать главы про тензорные произведения и их вариации у Ленга и ван дер Вардена, до этих алгебр не дочитывал. В современных учебниках по общей алгебре (Hungerford, Dummit&Foote) такого (в основном тексте) и вовсе нет (всё-таки должен быть уклон в линейку). Решил посмотреть, где ещё можно прочитать про этого зверя, в чём мне, как обычно, очень помог поиск по индексам библиотеки мехмата МГУ: нашёл книжку Каруби, К-теория: Введение. Оказалось, что это в чистейшем виде универсальный объект с точки зрения теории категорий, и как таковой определить его довольно просто...Collapse )
Tags:

Link | Leave a comment |

sfedu_ctseminar

Движок блога

Jun. 6th, 2009 | 02:46 pm
posted by: ulysses4ever in sfedu_ctseminar

Мне очень нравится, как выглядят посты, содержащие математику, на сервисе wordpress.com. Можете взглянуть, например: курс по геометрической теории групп. Как я понимаю, эта поддержка там есть по умолчанию — в отличие от livejournal.com.

Обращаюсь к читателям блога и коллегам: как бы вы отнеслись к переезду блога на wordpress.com?

Я понимаю, что это может быть сопряжено с некоторыми неудобствами. Мне самому, читающему много всего интересного именно через френд-ленту LJ, придётся продумывать, как следить за блогом на wordpress. Там, естественно, есть фидсы. Наверное, кто-то уже реализовывал синдикацию блога wordpress в LJ, но такие решения нужно искать и разбираться с ними.

Link | Leave a comment {6} |

sfedu_ctseminar

Встреча 30.05.09

Jun. 6th, 2009 | 01:39 pm
posted by: ulysses4ever in sfedu_ctseminar

На последней встрече в субботу мы разобрали несколько графических примеров: строили формулы по рисункам. Занятие весёлое, но отнимающее массу времени.

Затем мы познакомились с понятием строгой моноидальной категории и начали знакомство собственно с моноидальными категориями.
Read more...Collapse )
Семинар делает летний перерыв. Время возобновления точно пока не определено.

Link | Leave a comment {21} |

sfedu_ctseminar

(no subject)

May. 13th, 2009 | 03:58 pm
posted by: jtootf in sfedu_ctseminar

добрый день

в данный момент пытаюсь разобраться в ТК, читая книгу "Goldblatt. Topoi: The Categorial Analysis of Logic" (так уж получилось, что у меня есть только англоязычный её вариант), в процессе разбора возникают вопросы. буду благодарен, если поможете разобраться

1) в качестве примера упоминается группа как категория, содержащая один объект, в которой каждая стрелка - изо. объектом для группы (M, *, e) является множество M, а вот что является стрелками? в принципе даже понятно, почему они все должны быть изо, но вот примеров таких стрелок я представить не могу

2) немного англоязычной терминологии. pre-order - категория, в которой между любыми двумя объектами не более одной стрелки. верно ли это? если да, то как понимать определение partial order, которое добавляет требование антисимметричности (чтобы оно не выполнялось, стрелок между объектами должно быть как минимум две - в одну и другую сторону)? чувствую, что упускаю что-то очень базовое, однако в растерянности. или я здесь путаю категорию и множество?

3) как доказывается полнота, ко-полнота, конечная полнота категорий (пример бы доказательства)? какой русский термин соответствует Cartesian closed category?

заранее спасибо. вопросов ещё много, буду задавать по мере прояснения. прошу извинить, если вопросы глупые - по мере повышения уверенности в предмете уровень вопросов и тем для обсуждения (я надеюсь) будет повышаться

P.S. нашёл копилку статей сообщества, впечатлился

Link | Leave a comment {60} |

Аудиозапись семинара про индуктивные типы данных (18 апреля)

Apr. 21st, 2009 | 09:18 am
posted by: repalov in sfedu_ctseminar

Сейчас лежит здесь:
 http://rapidshare.com/files/223861065/tc18-04-09.MP3.html
(55 МБ в формате mp3 vbr 160kb, 2 часа).

Есть идея разместить на сайте мехмата, но ввиду ограничений на объём (неизвестных мне) пока не получилось.
Tags:

Link | Leave a comment {1} |