?

Log in

No account? Create an account

sfedu_ctseminar

Встреча 30.05.09

« previous entry | next entry »
Jun. 6th, 2009 | 01:39 pm
posted by: ulysses4ever in sfedu_ctseminar

На последней встрече в субботу мы разобрали несколько графических примеров: строили формулы по рисункам. Занятие весёлое, но отнимающее массу времени.

Затем мы познакомились с понятием строгой моноидальной категории и начали знакомство собственно с моноидальными категориями.

Срогой моноидальной категорией (СМК) называется тройка ⟨C, ⊗, 1⟩, где C категория, ⊗: C × C → C бифунктор в C, 1 объект в C, причём выполнены равенства: (X⊗Y)⊗Z = X⊗(Y⊗Z), X⊗1 = X = 1⊗X для всех объектов X, Y, Z категории C.

Как обычно, допуская вольность, говорят, что категория C это СМК, если можно задать ⊗ и 1, такие что тройка ⟨C, ⊗, 1⟩ будет удовлетворять определению СМК.

Было замечено, что свойство быть СМК весьма ограничительно. К примеру, категория множеств Set с декартовым произведением × и одноэлементным множеством {*} не явлется строгой моноидальной категорией, потому что для любого множества A = {a, b, ...}: A×{*} ≠ A (а именно, {(a,*), (b,*), ...} ≠ {a, b, ...}). Один из немногих примеров СМК — категория эндофункторов End(C) для некоторой категории C.

Владимир Алексеевич поднимал вопрос, являются ли векторные пространства (ВП) с тензорным произведением СМК. Я думаю, что нет. Примерно по той же причине, что и множества, в общем.

Я напомню, что такое тензорные произведения ВП (лучше брать не ВП, а модули, но вдруг так кому-то проще). Пусть даны два ВП: X, Y над полем k (далее все ВП будут рассматриваться над этим полем). Рассмторим категорию билинейных отображений из X × Y в произвольные векторные пространства (это отображения от двух аргументов, первый из X, второй из Y, поочерёдно фиксируя каждый из которых, мы получаем линейное отображение по второму). Морфизмами в этой категории являются линейные отображения ВП, такие что, если f: X × Y → Z₁, g: X × Y → Z₂ — два объекта этой категории, то h: Z₁ → Z₂ является морфизмом из f в g, если и только если g = hf. Обозначим эту категорию Bilin(X, Y).

Тензорным произведением ВП X и Y называется инициальный объект в Bilin(X, Y) (Ленг, XVI, §1).

Это абстрактное определение ВП. Там, где за основу берётся оно, сразу доказывается что соответствующий инициальный объект существует, причём доказательство конструктивно, то есть предъявляется конструкция соответствующего отображения. Более традиционным является подход, где всё начинается с этой конструкции.

Сначала нужно определить ВП — область значений искомого билинейного отображения X × Y. Пусть M это свободное ВП, порождённое множеством X × Y, т.е. множество всех конечных формальных сумм
\sum_i {α_i(x_i,y_i)},
где α_i из k, x_i из X, y_i из Y с естественными операцией сложения (сумма двух конечных сумм — конечная сумма, при необходимости приводятся подобные; это похоже на сложение многочленов от большого числа переменных, x_i, y_i) и умножением на скаляр из k. Определим отображение f̂: X × Y → M так: f̂(x,y) = (x,y). Чтобы получить из f̂ билинейное отображение — назовём его f — нужно отождествить некоторые элементы M. Например, для билинейности требуется, чтобы f(αx,y) = αf(x,y), тогда нужно отождествить α(x,y) и (αx,y). Отождествление в алгебре делается с помощью факторизации. Определим подмодуль M: N — модуль порождённый элементами, имеющими один из следующих четырёх видов:
α(x,y) - (αx, y), β(x,y) - (x, βy), (x₁+x₂,y) - (x₁,y) - (x₂,y), (x,y₁+y₂) - (x,y₁) - (x,y₂).
Определено каноническое отображение j: M → M/N, сопоставляющее каждому элементу M его класс эквивалентности в M/N. Интересующее нас билинейное отображение это f = jf̂.

Часто тензорным произведением называют не f, а M/N, так как f получается композицией двух довольно тривиальных отображений. M/N обозначают X⊗Y. Элемент f(x,y) обозначают x⊗y.

Теперь, собственно вопрос, являются ли ВП с произведением ⊗ СМК. По приведённой выше конструкции видно, что нет, потому что результат операции ⊗ начинается с декартова произведения. И так же как в случае множеств даже после натягивания свободной конструкции и факторизации там не будет одинаковых множеств, а значит — и одинаковых ВП. Так, в случае X⊗(Y⊗Z) элементом множества будет класс эквивалентности (то есть просто множество) конечных формальных сумм, слагаемыми которых являются пары: элемент x и элемент Y⊗Z, а в случае (X⊗Y)⊗Z — пары: элемент (X⊗Y) и элемент Z. Очевидно, такие множества не равны.

Понятие (нестрогой) моноидальной категории очень похоже на СМК: также требуется существование ⊗ и 1, но условия на них теперь содержат не равенства, а естественные изоморфизмы соответствующих агрегатов. Однако необходимо добавить дополнительное условие согласования (или, как пишет Маклейн, когерентности) «повторных произведений» (выражений вида (X₁⊗(X₂⊗(X₃⊗X₄))), где скобки можно расставлять по-разному). Это условие мы рассмотреть не успели.

Векторные пространства с тензорным произведением ⊗ уже является моноидальной категорией.

Семинар делает летний перерыв. Время возобновления точно пока не определено.

Link | Leave a comment |

Comments {21}

ghbdtn.mp

(no subject)

from: ghbdtn.mp
date: Jun. 6th, 2009 10:55 am (UTC)
Link

Более мотивированное (далось оно мне) изложение выглядит так:
- на Vect можно обнаружить структуру мультикатегории (http://ncatlab.org/nlab/show/multicategory) (это в точности полилинейные отображения и их композиция)
- 2-функтор MonCat→MultiCat можно рассматривать как стирающий (т.е. буквально стирающий ⊗), и построить его правый (слабый) сопряженный "свободная моноидальная категория" (в котором ⊗ вводится, как в сводобном моноиде, при помощи "синтаксического сахара")
- получается "структура моноидальной категории" как 2-алгебра получившейся 2-монады на MultiCat, но монада (слабо) идемпотентная, т.е. существует не более одного (с точностью до изоморфизма) способа ввести ⊗ на имеющейся мультикатегории
- из-за этого "быть моноидальной" можно рассматривать как свойство мультикатегории "вложение в свободную моноидальную категорию является эквивалентностью"
- проверив это свойство для Vect, убеждаемся, что "тензорные произведения существуют" :)

Собственно, это тот же самый путь, но та жуткая факторизация модуля здесь появляется как решение вопроса, а не вводится с самого начала. В том, что Вы называете "более традиционный подход" это, кстати, обычно оговаривается при помощи махания руками, но не может быть выписано как "решение уравнения". Ну, на самом деле "чистых подходов" в природе не встречается, зато есть целый диапазон адаптированных изложений этой конструкции - обычно ограничиваются упоминанием "универсального свойства".

Reply | Thread

ghbdtn.mp

(no subject)

from: ghbdtn.mp
date: Jun. 6th, 2009 10:56 am (UTC)
Link

Надо же, не дает вставлять ссылки в коммент. Защита от спама. :)

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Jun. 6th, 2009 11:04 am (UTC)
Link

На почту, кстати, вроде бы нормальная ссылка пришла: то есть с a href на слове «мультикатегории».

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

:)

from: ghbdtn.mp
date: Jun. 6th, 2009 11:25 am (UTC)
Link

Всё чудесатее и чудесатее!

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Jun. 6th, 2009 11:03 am (UTC)
Link

> но та жуткая факторизация модуля здесь появляется как решение вопроса, а не вводится с самого начала.
Жуткость вещь субъективная. Мне то, что написали вы, кажется намного более жутким. Во всяком случае очень странно говорить про какую бы то ни было факторизацию, что она жуткая, потому что факторизация это одна из фундаментальнейших операций алгебры. Мне кажется, можно говорить, что в алгебре кроме двух вещей: свободных конструкций и факторизации — ничего нет.

>В том, что Вы называете "более традиционный подход" это, кстати, обычно оговаривается при помощи махания руками, но не может быть выписано как "решение уравнения".
Не понял про махание руками. Фактически я изложил традиционный подход — где там махание руками?

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

(no subject)

from: ghbdtn.mp
date: Jun. 6th, 2009 11:24 am (UTC)
Link

> Жуткость вещь субъективная

Соглашусь. Но при выборе объяснения нужно ориентироваться как раз на особенности человеческого восприятия, которые уже более объективны. Жуткой является не идея факторизации, а этот конкретный модуль, по которому мы... по крайней мере, таким он кажется на первом курсе, когда его показывают первый раз. Если показать первокурснику оба варианта, он испугается их одинаково :)

А у Ленга, мне помнится, более мощная (из-за общности) конструкция представляющего объекта приводится, или это меня память подводит?


> Не понял про махание руками. Фактически я изложил традиционный подход — где там махание руками?

Махания в посте нет. Оно обычно появляется, когда пытаются объяснить, почему мы берем именно такую факторизацию. Либо "легко видеть", либо махание руками. Но махание, конечно, крайность. У Ленга как раз оптимальный вариант.

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Jun. 6th, 2009 11:32 am (UTC)
Link

У Ленга вроде очень похоже, с точностью до количества множителей: он рассматривает сразу вариант n тензорных множителей.

Да, восприятие — штука важная. Я её стараюсь учитывать, но тоже — как выходит...

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

(no subject)

from: ghbdtn.mp
date: Jun. 6th, 2009 11:41 am (UTC)
Link

Ммм... а через копредел целой кучи модулей ограниченной мощности он уже не определяет?.. Надо найти, свериться. По крайней мере какие-то из общепринятых конструкций Ленг вводит именно так - вытаскивая их, по сути, из теоремы Фрейда о сопряженном функторе (но об этом не говорит).

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Jun. 6th, 2009 11:55 am (UTC)
Link

В книге «Алгебра» вроде нет.

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

(no subject)

from: ghbdtn.mp
date: Jun. 6th, 2009 12:17 pm (UTC)
Link

Да, проверил, у Ленга "обычное". Но в памяти осталось со времен чтения Ленга, хм...
Чтобы не зависало в воздухе, идея там простая - инициальный объект должен быть копределом всей категории как диаграммы, значит, умея строить копределы, мы можем построить инициальный. Отсюда существование.
Но это мы уже сильно отклонились от темы.

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Jun. 6th, 2009 11:11 am (UTC)
Link

Ещё насчёт жуткости: классическая конструкция требует намного меньше дополнительных понятий, чем ваша. Это — одна из метрик жуткости.

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

(no subject)

from: ghbdtn.mp
date: Jun. 6th, 2009 11:33 am (UTC)
Link

Тут можно еще вспомнить про- и контра- в дискуссиях о бурбакизме и, в частности, о бурбакизме в образовании. Я как раз крайние стороны защищать не собираюсь. Дело в том, что конструкция с факторизацией, приведенная в посте, критикуется обычно именно как "слишком абстрактная" и "бурбакистская", из-за некого духа аксиоматичности, с которым она вводится. Последним аргументом здесь оказывается, что дети ее не понимают и используют просто по шаблону, без понимания.

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Jun. 6th, 2009 11:54 am (UTC)
Link

По-моему, приведённое в посте — это самое небурбакистсое определение из всех имеющихся. Иначе нужно просто ничего не знать про тензорное произведение. Как и происходит у нас на факультете. Во всяком случае, у «прикладников» (отделение «Прикладная математика и информатика»). У «математиков» (отделение «Математика»), кажется, его тоже в трёхсеместровом курсе алгебры не дают.

Я долго понимал эту конструкцию. Но, мне кажется, дело не в моменте факторизации. А просто в общей громоздкости. Громоздкий объект сложно разместить в голове. Момент факторизации требует опыта работы с этим действием — такой опыт оттачивается с самого-самого начала у всех, кто слушает самый банальный курс общей алгебры (у нас его слушают прикладники защитники информации и «математики», со следующего года начнут слушать IT-ники). А знакомят с факторизацией у нас даже ещё в курсе дискретной математики аж на первом году обучения.

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

(no subject)

from: ghbdtn.mp
date: Jun. 6th, 2009 12:29 pm (UTC)
Link

> это самое небурбакистсое определение
Э! Тогда мы либо о разной "бурбакистскости" говорим (какой-то суффикс лишний?), либо разное многообразие определений видели.

Классическое - которое через базис и координаты, времен Клейна и Вейерштрасса. Прикладникам и физикам-механикам дают обычно его, - просто традиция в учебниках такая. Традиция имеет поборников - "дети все понимают", опять же; понимают не совсем то, что стоит понимать - это уже противники.

Геометры и дифурщики предпочитают еще одно - через второе сопряженное, Lin(k, Bilin(A, B; k)) в более-менее общепринятых обозначениях. Оно и для бесконечномерного случая работает, с уточнением.

А то, абстрактное, оно к линейным пространствам не привязано, можно множить хоть стоуновские домены. Потому ИТ-шникам, наверное, полезнее всего будет.

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

караул

from: ghbdtn.mp
date: Jun. 6th, 2009 12:33 pm (UTC)
Link

Lin(Bilin(A, B; k); k) конечно же, извиняюсь

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Jun. 6th, 2009 12:38 pm (UTC)
Link

Я только два знаю: через факторизацию и как инициальный объект.

В координатах: у нас был курс механика сплошной среды. Два раза был, кстати (повезло так магистрам). Там было определение тензора: это набор чисел, которые при смене координат преобразуются так-то... Идиотское определение: никто ничего не понимал, оно казалось очень абстрактным: объект, данный через какой-то набор чисел, ещё смена координат какая-то... В первый раз было на четвёртом курсе, кстати. Про тензорное пространство никто не говорил.

> Оно и для бесконечномерного случая работает
Бесконечномерных вект. пространств? А это (в посте) не работает разве?

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

(no subject)

from: ghbdtn.mp
date: Jun. 6th, 2009 01:18 pm (UTC)
Link

> через факторизацию и как инициальный объект

Определение "через инициальный" неконструктивно, поэтому к нему нужно добавлять доказательство существования, лучше всего - какую-то явную конструкцию, т.е. опять факторизация либо большой копредел (в котором опять же факторизация).

> механика сплошной среды

Ага, это именно оно. Еще "теор-мех" для нефизиков бывает. В классическом варианте этот курс сопровождался курсом "тензорного анализа" - смесью "верхней" линейной алгебры и "нижней" диф-геометрии, и весь это подход "геометрия через координаты"... Но мы опять отклоняемся кда-то в неитересное, я сам виноват, извините.

> Бесконечномерных вект. пространств? А это (в посте) не работает разве

Трудно адаптируется координатная конструкция. Разве что с флагами и леммой Цорна, но это же безобразие получится. А "это" (в посте) как раз работает. С "этим" противоположные проблемы - оно дает промежуточную бесконечномерную конструкцию (как Вы говорите, громоздкая и трудно помещается в голове), а это не совсем адекватно, если мы хотим ограничиться категорией конечномерных пространств. Ее квантовики, например, много используют - как раз из-за хороших моноидальных свойств (автономность по Барру). А тут мы раз - и одно бесконечномерное по другому бесконечномерному факторизуем, чтобы получить заведомо конечномерное. Мне эта контрпродуктивная деятельность на первом курсе очень-очень не нравилось; потом привыкают и смиряются, либо... либо не смиряются.

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Jun. 6th, 2009 02:38 pm (UTC)
Link

> В классическом варианте этот курс сопровождался курсом "тензорного анализа" - смесью "верхней" линейной алгебры и "нижней" диф-геометрии, и весь это подход "геометрия через координаты"... Но мы опять отклоняемся куда-то в неинтересное, я сам виноват, извините.

Ну, во-первых, мы, конечно, отклоняемся, но мне, извините, интересно. Про верхнюю и нижнюю не понял, а про курс ВТА (вект. и тенз. анализ) это да: на физфаке у нас читается. А на мехмате, вроде бы — нет. И лекторам курса МСС и на отделении механики и на отделении ПМ приходится делать введение в тенз. анализ. В координатах. И это ужасно. dmitri_pavlov, кстати, сильно ругался на этот подход.

Про диф. геометрию: как-то без неё обходятся. Хотя в рамках курса анализа на третьем году у нас было введение в диф. геометрию (очень кондовое, аля Погорелов): там выводилось уравнение неразрывности. Каков же был сюрприз встретить его же на четвёртом году в таком непохожем курсе МСС. Как-то там обходились без дифгема: ловкость рук, наверное.

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

(no subject)

from: ghbdtn.mp
date: Jun. 6th, 2009 03:47 pm (UTC)
Link

О, за ссылку на dmitri_pavlov спасибо.
Даже зачитался. Комменты, что говорится, жгут.
Вербицкому с его манифестом пришла достойная смена.

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Jun. 6th, 2009 11:54 am (UTC)
Link

Про «не знать» я имел ввиду студентов.

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Jun. 6th, 2009 02:25 pm (UTC)
Link

Вспомнил, почему мне сложно было с этим определением через фактор: у меня сложность не с фактором, а со свободными конструкциями была: нам их в университете до шестого курса не рассказывали. А сам я как-то всё дискомфорт чувствовал с ними.

Reply | Parent | Thread