?

Log in

No account? Create an account

sfedu_ctseminar

Алгебры Клиффорда: категорный подход

« previous entry | next entry »
Nov. 1st, 2009 | 08:08 pm
posted by: ulysses4ever in sfedu_ctseminar

kid_a_2009 с удивлением говорила, что горячие головы собираются применять алгебры Клиффорда в цифровой обработке сигналов и жаловалась на абстрактность этой штуки. В принципе, поддерживаю. Каждый раз, когда садился читать главы про тензорные произведения и их вариации у Ленга и ван дер Вардена, до этих алгебр не дочитывал. В современных учебниках по общей алгебре (Hungerford, Dummit&Foote) такого (в основном тексте) и вовсе нет (всё-таки должен быть уклон в линейку). Решил посмотреть, где ещё можно прочитать про этого зверя, в чём мне, как обычно, очень помог поиск по индексам библиотеки мехмата МГУ: нашёл книжку Каруби, К-теория: Введение. Оказалось, что это в чистейшем виде универсальный объект с точки зрения теории категорий, и как таковой определить его довольно просто.

Напомню, что если b — объект категории C, а S: D → C — некоторый функтор, то можно определить категорию объектов под b относительно S, обозначаемую (b↓S), её объектами являются пары (f,d), где d∊Ob(D), f: b → Sd, а стрелками h: (f,d) → (f',d') — все те стрелки h: d → d' в D, для которых f'=Sh∘f. (Маклейн, 2.6).

Пусть U — забывающий функтор из категории k-алгебр k-Alg в категорию k-Vec векторных пространств над k; V — векторное пространство над k, Q — квадратичная форма на нём. Пусть O(V,Q) подкатегория категории (V↓U), в которой оставлены лишь те объекты (f,a), для которых выполнено ∀v∊V f²(v)=Q(v)1. Алгеброй Клиффорда называется инициальный объект O(V,Q).

Наверное, в этом определении условие, использующее элементы v∊V, можно как-то заменить (ко)уравнителями, но тут надо думать...

Я не знаю, можно ли доказать категорными методами существование такого инициального объекта — думаю, нет. Алгебраическое доказательство предъявляет соответствующую конструкцию. Нужная k-алгебра C(V,Q) получается как фактор тензорной алгебры T(V) пространства V по идеалу, порождённому элементами v⊗v - Q(v)1; нужная стрелка из V в C(V,Q) очевидна (композиция вложения V в T(V) и канонического гомоморфизма в фактор).

Если вспомнить, что T(V) это прямая сумма тензорных степеней T^i(V)=V⊗…⊗V (i сомножителей) для всех натуральных i, то станет ясно, что мне это всё понятней потому, что про тензорные произведения я как-то писал в таком стиле.
Tags:

Link | Leave a comment |

Comments {0}