?

Log in

No account? Create an account

sfedu_ctseminar

«Точные функторы алгебры»

« previous entry | next entry »
Nov. 14th, 2009 | 08:57 pm
posted by: ulysses4ever in sfedu_ctseminar

Как это часто бывает, получилось не совсем то, что предполагалось, а существенно меньше — к сожалению, до функторов не дошли. Сегодняшний доклад можно было бы назвать «Точные последовательности и абелевы категории».

Моя задумка: как можно сильней связать алгебру и ТК. Идея доклада родилась из книжки Schenck, Computational algebraic geometry, (CUP, 2003) (глава 6, Functors: Localization, Hom, and Tensor). Там от категорий только слово функтор в основном, автор не очень стремится развивать использование категорного аппарат. Однако там в центре внимание точность функторов (сохранения точных последовательностей). Разбираясь с темой, я увидел, что это близко к абелевым категориям: в них удобно рассматривать точные последовательности.

Я начал с алгебры. На примере групп рассказал про точные последовательности, короткие точные последовательности, попытался всех убедить, что это интересно и полезно. К сожалению, опыта у меня не хватает, так что, в основном, пересказывал Википедию про extension problem — решение уравнения, когда в короткой точной последовательности неизвестен средний член, привёл splitting lemma, которая даёт условия, при которых получается решить это уравнение однозначно (с точностью до изоморфизма), и, собственно, решение; упомянул про применения в задачи классификации простых конечных групп.

Категории. Дальше медленно, но верно стал подбираться к тому, чтобы понятие точности перевести в категорный язык и, одновременно, определить абелевы категории. Ввёл 0-объект (по определению, одновременно терминальный и инициальный), семейства 0-морфизмов 0_{A,B} для любых A и B, объектов категории с 0-объектом. (Ко)Ядра морфизма (как (ко)уравнителя этого морфизма и 0-морфизма; заодно вспомнили и закрепили понятие (ко)уравнителя). Напомнил понятие моно(эпи)морфизма. Ввёл понятия оттягивания и выталкивания (pullback/pushout).

Наконец, ввёл понятие абелевой категории. Абелева категория довольно хитрое понятие: существует несколько подходов к определению. Я сказал так (просьба поправлять, если я был не точен): C — абелева, если выполнено:
1) есть 0-объект
2) каждый моно(эпи)морфизм нормален (т.е. является (ко)ядром какого-то морфизма)
3' ) есть pullbacks, pushouts
3'') есть конечные (ко)произведения и у любого морфизма есть (ко)ядро
Достаточно требовать только одно из 3' и 3'', другое может быть доказано. Этот факт заинтересовал аудиторию, как и меня, но я не успел заранее разобраться с доказательством. Более сильная теорема, содержащая третье определение и их эквивалентность приведена с доказательством в книге Mitchell, Theory of Categories (1965) (Th. 20.1).

На этом всё кончилось. До функторов, к сожалению, не дошли. Если это продолжать, хотелось бы сделать следующее.
1) доказать эквивалентность определений абелевых категорий (всё-таки важное понятие и такое доказательство могло бы углубить понимание, мне кажется).
2) обсудить какие-нибудь хорошие свойства абелевых категорий. Например, мне очень нравится, что в ней выполнено следующее: моно+эпи=изо (чего нет в общих категориях). Эта теорема есть, например, в книге Freyd, Abelian categories, Introduction to theory of functors (1984), но я совершенно не понимаю доказательства в ней (именно, интересуют доказательства 2.11, 2.12 ­— надеюсь на помощь более опытных товарищей).
3) дойти всё-таки до обещанных точных функторов, может быть, в более категоризованной форме, чем в книге Schenck.
4) продолжить знакомство с понятиями алгебраической геометрии, использующими категорный аппарат, по книге Schenck: глава 8, Snake Lemma, Derived Functors, Tor and Ext.

Я готов в следующий раз попытаться продолжить по этому плану, если у Османа нет возражений или других предложений. У нас есть ещё Коля с алгебраической топологией, но он сказал, что ему хотелось бы через две недели.
Tags:

Link | Leave a comment |

Comments {13}

ghbdtn.mp

1/ Идея доклада родилась из книжки Schenck

from: ghbdtn.mp
date: Nov. 15th, 2009 10:59 am (UTC)
Link

Шенк - шикарная книжка, там продемонстрировано, как весь это stuff можно запихнуть в калькулятор, и как оно там будет само себя считать. Но для такой цели, как изучение аксиоматики абелевых категорий, такой выбор не совсем подходящий. Это скорее решебник, чем учебник или задачник.

Прежде, чем разбирать ее, как минимум, стоило бы посмотреть "обзор" Шафаревича (http://lib.mexmat.ru/books/50) - книжку более универсальную. А еще лучше познакомиться с тем, как теория строилась с самого начала у Маклейна (http://lib.mexmat.ru/books/1255) - иначе намерения "сильней связать алгебру и ТК" будут выглядеть, мягко говоря, странными, - ведь сама ТК была использована первоначально Маклейном как раз для работы с комплексами и точными последовательностями (и, получается, наоброт, ради этого создавалась).

Чтобы наша библиография была полной, то наверное оптимальной, покрывающей Шенка монографией (и того, что у Вы запланировали - "Derived Functors, Tor and Ext"), будет Гельфанд+Манин (http://lib.mexmat.ru/books/1511), соответствующие главы. А из минимального можно почитать учебник Ленга - там тоже есть глава.

Reply | Thread

ghbdtn.mp

Re: 1/ Идея доклада родилась из книжки Schenck

from: ghbdtn.mp
date: Nov. 15th, 2009 11:01 am (UTC)
Link

(хымъ, оно опять съело ссылки)

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

Re: 1/ Идея доклада родилась из книжки Schenck

from: ulysses4ever
date: Nov. 15th, 2009 11:06 am (UTC)
Link

На почту мне пришло так, как было, как я думаю, в оригинале, аккуратно.

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

Re: 1/ Идея доклада родилась из книжки Schenck

from: ghbdtn.mp
date: Nov. 15th, 2009 03:22 pm (UTC)
Link

Успокоили старика. Спасибо.

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

Re: 1/ Идея доклада родилась из книжки Schenck

from: ulysses4ever
date: Nov. 15th, 2009 11:06 am (UTC)
Link

Насчёт калькулятора это правда, но мне понравилась степень доступности текста Шенка (как раз для калькуляторщиков, как я).

Обзор Шафаревича мне кажется не очень подходящим для моих целей. Я прочёл около половины его книги, она мне показалась с одной стороны слишком гуманитарной (без доказательств или с набросками), с другой — слишком обзорной, с третьей — сложной для знакомства с тем, с чем раньше знаком не был. То, что знал, хорошо увязывается с остальным, получается красивая картина, но всё-таки это не то.

В остальном спасибо, я учту эти предложения.

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

(no subject)

from: ghbdtn.mp
date: Nov. 15th, 2009 11:21 am (UTC)
Link

Хм, любопытно. На Шафаревича, действительно есть разные взгляды. Мне он как раз нравится - там собраны нетривиальные вопросы, остальное можно достроить самому. Интересно было бы потом проанализировать причины: какая подача материала подходит Вам, а какая нет. Подобная ситуация свойственна далеко не только алгебре, а и вообще границе между обзорной и популярной литературой.

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

Re: 1/ Идея доклада родилась из книжки Schenck

from: ghbdtn.mp
date: Nov. 15th, 2009 11:06 am (UTC)
Link

Вдогонку: а риторически, это даже выгодная постановка дискурса. Анти-Дюринг, Сумма-против-язычников и прочей классике была свойственна подобная постановка вопроса.

Abstract Non-Schenck :)

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

2/ На примере групп

from: ghbdtn.mp
date: Nov. 15th, 2009 02:19 pm (UTC)
Link

С понятием расширения мы все знакомимся в первом классе, когда изучаем способ сложения многоразрядных чисел в общепринятой позиционной системе счисления. Там есть перенос. Без переноса правило поразрядного сложения давало бы структуру прямой суммы абелевых групп, описывающих сложение одного разряда [1]. Перенос, "восемь пишем, один в уме", - и есть коцикл, задающий расширение Z_{p} -> Z_{p^{n+1}} -> Z_{p^{n}}. Задача об описании расширений - это вопрос, сколько есть существенно разных способов складывать "с переносом" (коциклов).

С точки зрения алгебраической геометрии, в которой все наоборот, расширение выглядит как расслоение [2] - наши два морфизма задают базу и слой. Нормальность абелевой категории позволяет не добавлять дополнительно условие локальной тривиальности расслоения, оно получается автоматически. Далее, не все расслоения тривиальны (изоморфны простейшему декартовому случаю). Тривиальный случай (его алгебраический counterpart) и описывает лемма о расщеплении - это нулевой коцикл.

Еще следует добавить, что ситуация с некоммутативными группами, раз уж Вы упомянули печально известную задачу классификации, вычислительно принципиально сложнее, чем с абелевыми.

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_number_system
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Fiber_bundle

Но самый интригующий пример, в котором возникают расширения, - внутренние категории - вскоре расскажет Осман (ну, хотелось бы).

Reply | Thread

ghbdtn.mp

3/ Достаточно требовать только одно из 3' и 3''

from: ghbdtn.mp
date: Nov. 15th, 2009 02:48 pm (UTC)
Link

Есть жанр таких теорем: пусть ***, тогда следующие условия эквивалентны: ***. Как правило, подобная теорема сопровождается определением "... и назовем эту ситуацию %%%". Такова одна из особенностей современной математики, восходящая, по сути, к идее The Book, как я ее здесь проинтерпретирую: книги проясняющих описаний, превращающих все верные высказывания в самоочевидные.

Данная ситуация называется "конечно полная/кополная категория" и эквивалентна существованию всех пределов/копределов С^{D}->C для конечных категорий D. В данном контексте D, по которой берется предел, называется индексной. Поскольку мы можем считать предел последовательно по нескольким индексам {С^{D_1}}^{D_2}->С^{D_2}->C, из полноты по отдельным категориям индексов следует полнота по их произведению. В результате появляется задача описать минимальный набор конечных категорий (на самом деле - графов, для определения достаточно структуры графа), достаточный для получения всех остальных конечных пределов.

В п.3 мы видим как раз два ответа на такой вопрос, две "минимальные полные системы". Их полнота доказывается, наверное, в половине учебников, остальные оставляют это как упражнение. Не помню, что там у Маклейна по этому поводу :) Сам я разбирал в свое время, если не путаю, по Pareigis (http://lib.mexmat.ru/books/1321), но там слишком подробно, по-стрелочно. Вам, скорее всего, понравится свернуть его обратно в функторы предела, обращая внимание только, как мы манипулируем индексными категориями.



И вопрос на засыпку: удовлетворяет ли категория групп (не обязательно абелевых) определению абелевой (в той форме, в какой оно приведено)?

Reply | Thread

ulysses4ever

Re: 3/ Достаточно требовать только одно из 3' и 3''

from: ulysses4ever
date: Nov. 22nd, 2009 08:32 pm (UTC)
Link

> И вопрос на засыпку: удовлетворяет ли категория групп (не обязательно абелевых) определению абелевой (в той форме, в какой оно приведено)?

Я не уверен, что правильно понял вопрос, но если он состоит в том, является ли категория групп абелевой, то нет вроде бы потому, что не всякий мономорфизм чьё-то ядро. (Чтобы быть чьим-то ядром нужно быть нормальной подгруппой, а образ мономорфизма не обязательно удовлетворяет этому условию).

Reply | Parent | Thread

ghbdtn.mp

4/ интересуют доказательства 2.11, 2.12

from: ghbdtn.mp
date: Nov. 15th, 2009 03:21 pm (UTC)
Link

Эти доказательства у Фрейда можно считать классическим примером диаграммного поиска (ДП). Доказательством изоморфности (чего-то чему-то) является предъявление явной конструкции самого изоморфизма, т.е. пары морфизмов и равенств. При этом мы можем пользоваться только композициями морфизмов и действием функторов на них. Применения правил вывода, специфичных для логической подсистемы, обычно здесь не встречается, нас интересует только конструкция. Это означает, что, в принципе, можно написать целую книжку про гомологию, не упоминая логических вовсе, хотя вряд ли кто задавался подобной целью.

В хороших случаях, вроде этого, поиск подходящего морфизма, ограниченный правильной типизацией, очень небольшой. Совсем недавний пример использования ДП см. в [1].

На самом деле перед Фрейдом стаяла противоположная задача: вытащить из кучи таких конструкций, уже использующихся в гомологической практике, минимальный интерфейс, через который можно выразить остальные. Определение абелевой категории (фактически - структура на категории в виде набора функторов) и есть такой интерфейс.

Могу предложить посмотреть Pareigis, хотя отличия от Фрейда там минимальны. Лучше просто разобраться с техникой ДП, в том же Barr-Wells большинство доказательств общекатегорного раздела такие.

[1] http://deni-ok.livejournal.com/26780.html

Reply | Thread

ghbdtn.mp

Re: 4/ интересуют доказательства 2.11, 2.12

from: ghbdtn.mp
date: Nov. 15th, 2009 03:28 pm (UTC)
Link

"стаяла"="стояла"

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

Re: 4/ интересуют доказательства 2.11, 2.12

from: ulysses4ever
date: Nov. 22nd, 2009 08:34 pm (UTC)
Link

Мне кажется, что я не понимаю доказательств Фрейда не из-за того, что он применяет ДП.

Reply | Parent | Thread