?

Log in

No account? Create an account

sfedu_ctseminar

«Точные функторы», продолжение

« previous entry | next entry »
Nov. 22nd, 2009 | 11:09 pm
posted by: ulysses4ever in sfedu_ctseminar

На последней встрече, вчера, было продолжено обсуждение абелевых категорий и «точности». Про первые: обсудили ещё одно (к двум, введённым в прошлый раз) определение абелевой категории, как категории, обогащённой над категорией абелевых групп (я перечислил всю иерархию по Фрейду: предаддитивные-аддитивные-предабелевы-абелевы). Рассмотрели связь мономорфизмов и ядер: вспомнили, что любое ядро, как любой уравнитель, является мономорфизмом; доказали, что если морфизм в абелевой категории является моно и эпи, то он является и изоморфизмом (в общих категориях это не так). Сформулировали без доказательства теорему о разложении любого морфизма абелевой категории в произведение моно и эпиморфизма.

С алгебраической частью было много дырок: я не доготовился. Сначала разбирались с локализацией колец, потом, с горем пополам, ­модулей. Доказали, что функтор локализации точный. Верно было замечено, что не хватает мотивировок, то есть примеров того, чем хороши точные функторы или хотя бы сама локализация. Затем обсуждались Hom-функторы из категории модулей. Вспомнили, что они контравариантные, сформулировали, что они точные слева, посмотрели на пример в котором очевидно теряется точность справа. Затем я хотел привести пример применения Hom-функторов в народном хозяйстве, а именно, в теории симплициальных комплексов. Здесь мне совершенно законно указали на недостаточную аккуратность с понятием ориентированного симплекса.
Tags:

Link | Leave a comment |

Comments {4}

(no subject)

from: mathreader
date: Nov. 22nd, 2009 09:50 pm (UTC)
Link

Мотивировки для локализации происходят из алгебраической геометрии. На алгебраическом многообразии кольцо локальных функций в точке - есть локализация алгебры полиномов по максимальному идеалу. Также кольцо функций на подмногообразии есть локализация по простому идеалу.

Точные функторы, на самом деле, не очень интересны. Они сохраняют короткие точные последовательности. Интерес появляется, если функтор не точен, и тогда возникает последовательность функторов, "исправляющих" неточность исходного - так называемые производные функторы. Применение в народном хозяйстве: например, если зафиксировать модуль M, на котором действует некоторая группа G, то возникают функторы H_n(G,M), H^n(G,M) - производные функторы для функторов тензорного произведения с M, и Hom(-,M) соответственно. (Над групповым кольцом ZG). Это очень тонкие инварианты исходной группы (и модуля).

Reply | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Nov. 23rd, 2009 06:11 am (UTC)
Link

> Мотивировки для локализации происходят из алгебраической геометрии...
Да, это я знаю, конечно. Как я писал в прошлом посте, идея доклада родилась из книжки Computational AG by Schenk. Как я написал в этом посте, я просто не приготовился про это рассказать, привести конкретные примеры. Мне одного знания, что это так, недостаточно, нужно специально готовиться, потому что всё, чему меня не учили, знаю я довольно сыро, а тем азам АГ, с которыми я немного знаком, меня не учили. Я специально брал главу из книги Eisenbud «CA with a view toward AG» (уверен, вы её знаете) про локализацию: там, кажется, очень хорошо написано (без категорий только), но тоже не доготовил, не дообдумал.

Есть ещё сложность с тем, что я не чувствую, насколько можно разворачивать мотивировки на докладе, потому что семинар вообще-то не по алгебре, а по ТК.

Про производные функторы — это тоже есть в перспективе (и в соответствующих книжках), но спасибо вам, что подтвердили часть моих догадок про то, как это всё связано. Правда, теперь я что-то не уверен, что буду дальше готовить это для семинара: ввиду упомянутого выше отсутствия ощущения грани, как далеко можно уходить в алгебру и ещё, насколько строго надо это делать, и от несовпадения этих ощущений с другими участниками семинара на последнем докладе у меня как-то не очень положительные впечатления остались.

Reply | Parent | Thread

(no subject)

from: mathreader
date: Nov. 22nd, 2009 11:50 pm (UTC)
Link

Кстати, хорошо изложена тема о разложении произвольного морфизма в композицию моно и эпи в книге Фрейда:

Peter Freyd, Abelian categories

можно скачать отсюда:
http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/index.html

Reply | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Nov. 23rd, 2009 06:00 am (UTC)
Link

Да, спасибо, я в курсе про книжку Фрейда: если вы посмотрите предыдущий пост в это коммьюнити, увидите, что там я более подробно писал про то, на какую литературу ориентировался. Доказательства Фрейда в главке про Theorems for ab. cat's мне с самого начала как-то непонятны (наверное, что-то у меня в голове не так) — я разобрался с помощью Маклейна без особых усилий (у него, конечно, очень кратко, но зато сформулирована мысль, а дальше уже можно достроить технику).

Reply | Parent | Thread