?

Log in

No account? Create an account

sfedu_ctseminar

«Полином Джонса»

« previous entry | next entry »
Dec. 8th, 2009 | 10:38 pm
posted by: ulysses4ever in sfedu_ctseminar

В прошлую субботу была продолжена серия докладов, посвящённых теории узлов. Сейчас мы в фазе рассмотрения инвариантов узлов. Ранее был рассмотрен исторически первый такой объект: полином Алекса́ндера. В этот раз мы познакомились с полиномом Джонса и убедились, что он является более тонким инвариантом, чем полином Александера; изложение велось в основном по книге Прасолов, Сосинский, Узлы, зацепления и трёхмерные многообразия.

Куда мы пойдём дальше (будем ли разбирать полином Васильева), и как это выйдет на теорию категорий, я не очень понимаю, но видимо, стоит смотреть в сторону книги: Кассел и др., Квантовые группы и инварианты узлов, где всё это, как я понимаю, увязывается.

Краткая сводка доклада. (С напоминанием некоторых базовых фактов.) Узел это гомеоморфизм плоской окружности S1 в трёхмерное вещественное евклидово пространство R3. Узлы обычно рассматриваются с точностью до «изотопии», в данном случае объемлющей изотопии: гомотопии в R3, из тождественного отображения в отображение, переводящее один узел в другой. Обычно ограничиваются рассмотрением «хороших» классов узлов — изотопных гладким (как отображениям) узлам — т.н. «ручными узлами».

Определяются диаграммы узлов — образы узлов на плоскости R2: S1R3R2. Ситуация изотопии узлов в пространстве переводится в диаграммы с помощью плоских изотопий и так называемых преобразований Рейдемейстера диаграмм узлов, коих имеется три типа. Справедлива
Теорема Рейдемейстера. Два узла изотопны тогда и только тогда, когда их диаграммы могут быть получены одна из другой с помощью плоских изотопий и преобразований Рейдемейстера.
Таким образом, поиск инвариантов узлов (неких — чаще алгебраических — объектов, остающихся неизменными при изотопиях узлов) мы можем заменить на поиск инвариантов диаграмм узлов, остающихся неизменными при плоских изотопиях и преобразованиях Рейдемейстера. На этом пути вводится скобка Кауффмана — как полином, получающийся применением некоторой процедуры к диаграмме узла. Доказывается, что эта процедура для каждой диаграммы неориентированного узла L однозначно определяет полином, обозначаемый <L>. Доказывается, что этот полином инвариантен относительного плоских изотопий и второго и третьего преобразований Рейдемейстера. Интересным является способ получения из этого объекта уже настоящего инварианта.

Рассматриваются ориентированные узлы, для них вводится некоторая числовая характеристика: число закрученности. Можно показать, что оно также инвариантно относительно плоских изотопий и второго и третьего преобразований Рейдемейстера. Теперь у нас есть два объекта с такими свойствами, правда, одно (скобка Кауфмана) для неориентированного узла, второе (число закрученности) для ориентированного. Оказывается, что их можно объединить в достачно простом выражении, зависящем от диаграммы орузла (скобка Каумана считается от этой диаграммы с забытой ориентацией), которое уже инвариантно относительно плоских изотопий и всех трёх преобразований Рейдемейстера — так получается полином Кауфмана.

Полином Джонса получается из полинома Кауфмана простой заменой переменных. Исторически первым, однако, было другое определение полинома Джонса: как полинома, удовлетворяющего двум условиям: равенству единице на тривиальном узле и удовлетворяющему определённому соотношению типа скейн-соотношения. Это определение мы использовали для подсчёта полиномов Джонса нескольких конкретных узлов.
Tags:

Link | Leave a comment |

Comments {4}

Just the One of the Few

(no subject)

from: jtootf
date: Dec. 8th, 2009 07:57 pm (UTC)
Link

а какие-нибудь записи докладов ведутся? тема интересная, хотелось бы почитать менее краткую сводку, если можно

Reply | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Dec. 8th, 2009 08:07 pm (UTC)
Link

Если говорить об аудио или видео, то систематически — не ведутся. Конспекты разные люди пишут, но лично у меня конспекты получаются разные по качеству в зависимости от доклада. С докладчиком серии по узлам у меня так получается, что довольно быстро количество тёмных моментов превышает определённый порог, и я перестаю писать. Собственно, этот пост я написал именно для того, чтобы разложить по полочкам то, что я читал в книжках и Википедии уже после доклада, но имея ввиду именно те вопросы, которые у меня остались после доклада.

Reply | Parent | Thread

(no subject)

from: mathreader
date: Dec. 9th, 2009 08:46 am (UTC)
Link

Народ, занимающийся узлами, сейчас работает с Khovanov homology и knot Floer homology.

Reply | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Dec. 9th, 2009 09:13 am (UTC)
Link

[Khovanov homology can be viewed as] A categorification of the Jones polynomial — ммм, интересно... Может быть, мы всё-таки вырулим на категории :) Проблема в том, что математическая подготовка где-то половины, а то и больше участников семинара не особо пересекается с гомологиями и цепными комплексами.

Но спасибо за замечание!

Reply | Parent | Thread