?

Log in

No account? Create an account

sfedu_ctseminar

Пример строгой моноидальной категории

« previous entry |
Dec. 14th, 2009 | 10:51 pm
posted by: ulysses4ever in sfedu_ctseminar

У нас на семинаре как-то обсуждалось, какие можно придумать примеры строгих моноидальных категорий. Известно, что их мало в сравнении с моноидальными категориями. Напомню, что «моноидальность» заключается в ведении операции, обычно обозначаемой ⊗, на объектах (и морфизмах, поскольку ⊗ должно быть бифунктором) категории; она превращает множество объектов в моноид в случае строгой м.к. «Снятие строгости» состоит в том, что от ⊗ требуется некое более слабое условие вместо ассоциативности (ассоциативность «с точностью» до действия фиксированного натурального преобразования, называемого ассоциатором), свойство единицы ослабляется аналогичным образом. Другими словами, можно сказать, что все равенства в аксиомах моноида заменяются на изоморфизмы. Кроме того, от этих изоморфизмов требуются так называемые «условия согласования». В общем, довольно громоздкая конструкция получается.

Так вот, как я сказал, в реальной жизни («строгой») ассоциативности чаще всего нет — примеров строгих м.к. не так уж много (в отличие от м.к., примеров которых очень много). Самым популярным примером является категория эндоморфизмов. Вот в книжке Кассела и др. Квантовые группы и инварианты узлов есть ещё один, весьма искусственный, правда, пример.

Советую всем не очень искушённым в теории категорий тщательно проследить, почему выполняются все необходимые условия для строгой м.к. (то, о чём написано в последних строчках).
Tags:

Link | Leave a comment |

Comments {13}

ghbdtn.mp

(no subject)

from: ghbdtn.mp
date: Dec. 14th, 2009 08:10 pm (UTC)
Link

Если мы вводим Bicat как строгую, то стриктификации для произвольной B можно получать из 2-Ионеды - как под-2-категории Bicat(Bop, Cat). Фактически, категорификация обычного вложения в топос предпучков. Это если хочется примеров строгих бикатегорий.

А вот в порядке растления малолетних: здесь развитие сюжета идет в прямо противоположном направлении - еще более нестрогая структура, чем моноидальные и мульти-.
http://arxiv.org/abs/math.CT/9912075

Reply | Thread

Николай Иваныч

(no subject)

from: nivanych
date: Dec. 15th, 2009 05:41 am (UTC)
Link

> в реальной жизни («строгой») ассоциативности, чаще всего, нет

Если уж простое произведение ассоциативно только с точностью до изоморфизма...

Reply | Thread

(no subject)

from: mathreader
date: Dec. 15th, 2009 04:07 pm (UTC)
Link

Кстати, да.

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Dec. 15th, 2009 05:13 pm (UTC)
Link

Эээ, «простое произведение» чего?

Reply | Parent | Thread

Николай Иваныч

(no subject)

from: nivanych
date: Dec. 15th, 2009 05:41 pm (UTC)
Link

Нублин. Не надо так педантствовать ;-)
То, что строится из предела функтора,
у которого домен, это категория, состоящая
из двух разных единичных стрелок.
Неужели надо точнее?

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Dec. 15th, 2009 06:00 pm (UTC)
Link

Педанство здесь не при чём, я не понял, какое произведение имеется ввиду. Если имеется ввиду обычное категорное произведение, тогда ясно.

Reply | Parent | Thread

Николай Иваныч

(no subject)

from: nivanych
date: Dec. 15th, 2009 06:07 pm (UTC)
Link

Чо та сообразить не могу.
А какое ещё произведение "из простых" можно было иметь ввиду?

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Dec. 15th, 2009 06:09 pm (UTC)
Link

Произведение групп, например. Свободное или прямое, на выбор.

Reply | Parent | Thread

Николай Иваныч

(no subject)

from: nivanych
date: Dec. 15th, 2009 06:33 pm (UTC)
Link

Я лично предполагал, что когда
в сообществе на тему теории категорий
пишут пост на тему теории категорий,
то и вариантов, как можно понять "произведение",
не так и много, и среди них, всякие частности,
связанные с группами, не на первом месте.
Я так думал. Но видимо, сильно ошибся? ;-)
Да ладно. Главное, что сейчас всё понятно ;-)

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Dec. 15th, 2009 06:37 pm (UTC)
Link

Вы писали не пост, а коммент к посту, который был написан на тему конкретных примеров («всяких частностей») строгих мон. кат.

Reply | Parent | Thread

(Deleted comment)

Николай Иваныч

(no subject)

from: nivanych
date: Dec. 16th, 2009 02:14 pm (UTC)
Link

;-) Главное, все поняли.
Не знаю, что и на меня тоже нашло.
Я больше не буду :-)

Reply | Parent | Thread

(no subject)

from: mathreader
date: Dec. 15th, 2009 07:23 pm (UTC)
Link

Даже декартово произведение множеств ассоциативно лишь с точностью до изоморфизма. Потому что декартово произведение двух множеств это множество упорядоченных пар (a,b). А декартово произведение трех множеств получается как множество троек ((a,b),c) либо (a,(b,c)). Они не равны как множества, а лишь изоморфны.

Reply | Parent | Thread

ulysses4ever

(no subject)

from: ulysses4ever
date: Dec. 15th, 2009 07:32 pm (UTC)
Link

Спасибо, об этом я в курсе.

Reply | Parent | Thread